在数学中，多项式除法是一种常见的运算方式，用于将一个多项式（被除式）除以另一个多项式（除式），从而得到商和余数。这种运算类似于整数的长除法，但涉及到的是多项式的系数和幂次操作。为了确保计算准确且易于理解，本文将通过一个具体的例子，详细展示多项式除法的每一步骤。
例题：
我们来计算以下多项式除法问题：
\[ (x^3 + 2x^2 - x + 4) \div (x - 1) \]
第一步：检查除式是否为零
首先，确认除式 \( x - 1 \) 是否为零。如果除式为零，则无法进行除法运算。显然，在本例中，\( x - 1 \neq 0 \)，因此可以继续计算。
第二步：确定最高次项
观察被除式 \( x^3 + 2x^2 - x + 4 \)，其最高次项是 \( x^3 \)，对应的系数为 1。
观察除式 \( x - 1 \)，其最高次项是 \( x \)，对应的系数为 1。
第三步：开始长除法
从最高次项开始，逐层计算：
第一次迭代：
1. 取最高次项比值：
将被除式中 \( x^3 \) 的系数与除式中 \( x \) 的系数相除，即 \( \frac{x^3}{x} = x^2 \)。
这表示商的第一项为 \( x^2 \)。
2. 乘法计算：
将 \( x^2 \) 与除式 \( x - 1 \) 相乘，得到：
\[
x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2
\]
3. 减法计算：
用被除式减去上述结果：
\[
(x^3 + 2x^2 - x + 4) - (x^3 - x^2) = 3x^2 - x + 4
\]
第二次迭代：
1. 取最高次项比值：
被除式现在变为 \( 3x^2 - x + 4 \)，最高次项为 \( 3x^2 \)。将其与除式中 \( x \) 的系数相除，即 \( \frac{3x^2}{x} = 3x \)。
这表示商的第二项为 \( 3x \)。
2. 乘法计算：
将 \( 3x \) 与除式 \( x - 1 \) 相乘，得到：
\[
3x \cdot (x - 1) = 3x^2 - 3x
\]
3. 减法计算：
用被除式减去上述结果：
\[
(3x^2 - x + 4) - (3x^2 - 3x) = 2x + 4
\]
第三次迭代：
1. 取最高次项比值：
被除式现在变为 \( 2x + 4 \)，最高次项为 \( 2x \)。将其与除式中 \( x \) 的系数相除，即 \( \frac{2x}{x} = 2 \)。
这表示商的第三项为 \( 2 \)。
2. 乘法计算：
将 \( 2 \) 与除式 \( x - 1 \) 相乘，得到：
\[
2 \cdot (x - 1) = 2x - 2
\]
3. 减法计算：
用被除式减去上述结果：
\[
(2x + 4) - (2x - 2) = 6
\]
第四步：总结结果
经过三次迭代后，商为 \( x^2 + 3x + 2 \)，余数为 \( 6 \)。因此，多项式除法的结果可以写为：
\[
(x^3 + 2x^2 - x + 4) \div (x - 1) = x^2 + 3x + 2 + \frac{6}{x - 1}
\]
总结
多项式除法的关键在于逐步提取最高次项的系数比值，并通过乘法和减法逐步降低被除式的次数。只要按照上述步骤操作，就可以完成任何多项式除法问题。希望本文的详细讲解能帮助你更好地掌握这一方法！
