【两向量垂直的公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。当两个向量的夹角为90度时，它们被称为垂直向量。判断两向量是否垂直，可以通过向量的点积（内积）来实现。
一、基本概念
- 向量：在数学中，向量是一个既有大小又有方向的量。
- 点积（内积）：设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，则它们的点积为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
$$
- 垂直条件：若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则它们的点积为零：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
$$
二、两向量垂直的公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 点积公式 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$ | 向量点积的计算方式 |
| 垂直条件 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 当且仅当两向量垂直时成立 |
三、应用举例
例1：已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (-4, 3)$，判断它们是否垂直。
- 计算点积：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
- 结论：$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。
例2：已知向量 $\vec{c} = (2, -1)$，$\vec{d} = (1, 2)$，判断是否垂直。
- 计算点积：
$$
\vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 = 2 - 2 = 0
$$
- 结论：$\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 垂直。
四、注意事项
- 该公式适用于二维和三维空间中的向量，也适用于更高维空间。
- 若点积不为零，则两向量不垂直。
- 在实际应用中，如物理、工程、计算机图形学等领域，垂直向量常用于判断方向关系或进行投影计算。
通过以上内容可以看出，判断两向量是否垂直的关键在于计算它们的点积，并判断结果是否为零。这一方法简单、直观，是向量分析中的重要工具。
