【sinx乘sin2x等于什么】在三角函数的学习中，我们常常需要对一些常见的三角函数表达式进行化简或求值。其中，“sinx乘sin2x”是一个常见但容易被忽视的组合。本文将从数学公式出发，结合三角恒等变换，总结出“sinx乘sin2x”的表达形式，并通过表格形式直观展示其计算过程与结果。
一、基本概念
- sinx 是正弦函数，表示角度 x 的正弦值。
- sin2x 是正弦函数的倍角形式，可以利用倍角公式展开为：
$$
\sin 2x = 2\sin x \cos x
$$
因此，原式“sinx乘sin2x”可写为：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \sin x \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin^2 x \cos x
$$
二、进一步简化（可选）
若希望将其转化为更简洁的形式，可以使用积化和差公式：
$$
\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)
$$
令 $A = x$，$B = 2x$，则有：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2}[\cos(x - 2x) - \cos(x + 2x)] = \frac{1}{2}[\cos(-x) - \cos(3x)
$$
由于 $\cos(-x) = \cos x$，所以最终得到：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2}[\cos x - \cos 3x
$$
三、总结与对比
以下是对“sinx乘sin2x”不同表达方式的总结与对比：
| 表达方式 | 公式 | 说明 |
| 原始表达式 | $\sin x \cdot \sin 2x$ | 直接相乘形式 |
| 展开后 | $2\sin^2 x \cos x$ | 利用倍角公式展开 |
| 积化和差形式 | $\frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x)$ | 使用积化和差公式转换 |
四、实际应用示例
假设 $x = \frac{\pi}{6}$，我们可以计算：
- $\sin x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
- $\sin 2x = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- 所以 $\sin x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
同时验证其他形式：
- $2\sin^2 x \cos x = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
- $\frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$
所有方法计算结果一致，验证了公式的正确性。
五、结语
“sinx乘sin2x”这一表达式可以通过多种方式进行化简与计算，包括直接展开、倍角公式、积化和差等方法。掌握这些技巧有助于提高解题效率，并加深对三角函数的理解。在实际应用中，选择合适的表达方式能够更方便地进行数值计算或进一步推导。
