【如何用短除法计算算术平方根】在数学中，算术平方根是指一个非负数的平方等于该数的正数。例如，√9 = 3，因为3² = 9。计算算术平方根的方法有很多，其中一种较为直观且适合初学者的方法是“短除法”。这种方法不仅有助于理解平方根的结构，还能帮助我们分解因数并识别完全平方数。
下面将通过和表格形式，详细讲解如何使用短除法来计算算术平方根。
一、短除法的基本原理
短除法是一种用于分解整数因数的方法，尤其适用于寻找一个数的质因数。当我们需要计算某个数的算术平方根时，可以通过短除法将其分解为多个质因数，然后将成对的质因数提取出来，形成平方因子。
二、步骤总结
1. 将目标数写在短除法的左边。
2. 从最小的质数开始试除（如2、3、5等）。
3. 每次除尽后，将商继续进行短除法。
4. 直到得到1为止。
5. 将相同的质因数配对，每对质因数可以提出平方根。
6. 剩余的质因数留在根号内。
三、示例：计算 √72 的算术平方根
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 将72写在左边，从2开始除 | 72 ÷ 2 = 36 |
| 2 | 继续用2除36 | 36 ÷ 2 = 18 |
| 3 | 再次用2除18 | 18 ÷ 2 = 9 |
| 4 | 用3除9 | 9 ÷ 3 = 3 |
| 5 | 用3除3 | 3 ÷ 3 = 1 |
| 6 | 分解结果为质因数 | 72 = 2³ × 3² |
| 7 | 配对质因数 | 2² 和 3² 可以提出根号 |
| 8 | 剩余未配对的质因数留在根号内 | 2¹ |
因此，√72 = √(2² × 3² × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2
四、其他例子
| 数字 | 分解质因数 | 算术平方根 |
| 16 | 2⁴ | √16 = 4 |
| 25 | 5² | √25 = 5 |
| 48 | 2⁴ × 3 | √48 = 4√3 |
| 75 | 3 × 5² | √75 = 5√3 |
| 100 | 2² × 5² | √100 = 10 |
五、注意事项
- 如果所有质因数都能配对，则该数是一个完全平方数，其平方根为整数。
- 若有质因数无法配对，则平方根为无理数，需保留根号形式。
- 短除法适用于正整数，不适用于小数或分数。
六、总结
通过短除法，我们可以系统地分解一个数的质因数，并据此判断其是否为完全平方数，从而求出其算术平方根。这种方法不仅有助于提高学生的数感，还能加深对平方根概念的理解。
通过表格形式展示不同数字的分解与结果，可以更清晰地看到规律，帮助学习者掌握这一方法。
