对数求导的公式
在数学分析中，对数求导是一种非常实用的技术，尤其适用于处理复杂函数的导数计算。通过对数求导法，我们可以将复杂的乘除运算转化为简单的加减运算，从而简化问题。
假设我们有一个函数 $ y = f(x) $，如果这个函数是多个因子的乘积或商的形式，比如 $ y = u(x)v(x)w(x) $ 或 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，那么直接求导可能会比较繁琐。这时，我们可以利用对数求导法来简化过程。
首先，我们取自然对数（或其他底数的对数）两边：
$$
\ln(y) = \ln(u(x)v(x)w(x)) = \ln(u(x)) + \ln(v(x)) + \ln(w(x))
$$
或者对于商的情况：
$$
\ln(y) = \ln\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \ln(u(x)) - \ln(v(x))
$$
接下来，对两边关于 $ x $ 求导：
$$
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)}{u(x)} + \frac{v'(x)}{v(x)} + \frac{w'(x)}{w(x)}
$$
或者对于商的情况：
$$
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)}
$$
最后，我们将 $ y $ 代入原式，得到最终的导数表达式：
$$
\frac{dy}{dx} = y \cdot \left( \frac{u'(x)}{u(x)} + \frac{v'(x)}{v(x)} + \frac{w'(x)}{w(x)} \right)
$$
或者对于商的情况：
$$
\frac{dy}{dx} = y \cdot \left( \frac{u'(x)}{u(x)} - \frac{v'(x)}{v(x)} \right)
$$
通过这种方法，我们可以轻松地处理复杂的乘积和商的导数问题。这种方法不仅减少了计算量，还提高了准确性。
例如，考虑函数 $ y = x^2 e^x \sin(x) $。使用对数求导法，我们先取对数：
$$
\ln(y) = \ln(x^2) + \ln(e^x) + \ln(\sin(x)) = 2\ln(x) + x + \ln(\sin(x))
$$
然后对两边求导：
$$
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + 1 + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
$$
最后，得到导数：
$$
\frac{dy}{dx} = y \cdot \left( \frac{2}{x} + 1 + \cot(x) \right)
$$
这种技巧在高等数学和工程应用中都非常有用，能够帮助我们快速解决复杂问题。
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