【数学期望公式有哪些】在概率论与数理统计中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中平均取值的大小。数学期望不仅在理论研究中具有重要意义，在实际应用中也广泛用于风险评估、金融分析、数据分析等领域。
以下是对常见数学期望公式的总结，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、基本定义
数学期望（Expected Value）是随机变量所有可能取值与其对应概率乘积之和，表示该随机变量的“平均值”。
对于离散型随机变量 $ X $，其数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
对于连续型随机变量 $ X $，其数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中 $ f(x) $ 是概率密度函数。
二、常见分布的数学期望公式
| 分布名称 | 概率质量函数 / 密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ |
| 超几何分布 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ \frac{nK}{N} $ |
三、数学期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
$$
2. 常数的期望：若 $ c $ 为常数，则
$$
E(c) = c
$$
3. 独立变量的期望：若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
4. 条件期望：
$$
E(X) = E(E(X
$$
四、应用场景
数学期望在多个领域都有广泛应用，包括但不限于：
- 金融投资：用于计算投资组合的预期收益。
- 保险精算：用于评估理赔金额的期望值。
- 机器学习：用于模型预测的平均结果。
- 统计推断：用于估计总体参数的无偏估计量。
通过以上总结可以看出，数学期望是连接概率与实际数值的重要桥梁，掌握其公式和性质有助于深入理解随机现象的本质。希望本文能为初学者或相关领域的研究者提供参考和帮助。
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