【sinx乘以sin2x等于多少】在三角函数的学习中，我们经常需要对一些常见的三角函数表达式进行化简或求值。其中，“sinx乘以sin2x”是一个较为常见的组合形式，了解它的计算方法和结果有助于我们在解题时更加高效。
以下是对“sinx乘以sin2x”的详细分析与总结。
一、公式推导
我们知道，sin2x 是一个倍角公式，其表达式为：
$$
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
$$
因此，将 sinx 与 sin2x 相乘：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \sin x \cdot (2 \sin x \cos x) = 2 \sin^2 x \cos x
$$
这说明：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = 2 \sin^2 x \cos x
$$
此外，还可以通过三角恒等变换进一步简化或转换为其他形式，例如使用积化和差公式。
二、积化和差公式法
根据积化和差公式：
$$
\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)
$$
令 $ A = x $，$ B = 2x $，则：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2} [\cos(x - 2x) - \cos(x + 2x)] = \frac{1}{2} [\cos(-x) - \cos(3x)
$$
由于余弦函数是偶函数，$\cos(-x) = \cos x$，所以：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2} [\cos x - \cos 3x
$$
三、总结对比
以下是两种方法得到的结果对比：
| 方法 | 公式表达 | 说明 |
| 倍角公式法 | $ 2 \sin^2 x \cos x $ | 通过展开 sin2x 得到的直接结果 |
| 积化和差公式法 | $ \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x) $ | 利用三角恒等变换得到的另一种形式 |
四、实际应用举例
假设 $ x = \frac{\pi}{6} $，我们可以代入计算：
- $\sin x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
- $\sin 2x = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}
$$
同时，用另一种公式验证：
$$
\frac{1}{2} (\cos \frac{\pi}{6} - \cos \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \right) = \frac{\sqrt{3}}{4}
$$
结果一致，验证了公式的正确性。
五、结论
“sinx乘以sin2x”可以通过多种方式求解，包括直接展开、利用倍角公式或使用积化和差公式。最终可以表示为：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = 2 \sin^2 x \cos x = \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x)
$$
这些表达式在不同情境下都有其适用性，可根据具体问题选择最合适的表达形式。
