【分部积分法公式】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，常用于求解难以直接积分的函数。该方法基于乘积法则的逆运算，适用于两个函数相乘后的积分问题。通过合理选择被积函数中的两个部分，可以将原积分转化为更易处理的形式。
一、分部积分法的基本原理
分部积分法的核心公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个可微函数；
- $ dv $ 是另一个可微函数的微分；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的原函数。
使用此公式时，关键在于如何选择合适的 $ u $ 和 $ dv $，使得右边的积分更容易计算。
二、常见应用类型
| 应用类型 | 被积函数形式 | 选择建议 |
| 多项式 × 指数函数 | $ x^n e^x $ | 令 $ u = x^n $，$ dv = e^x dx $ |
| 多项式 × 三角函数 | $ x^n \sin x $ 或 $ x^n \cos x $ | 令 $ u = x^n $，$ dv = \sin x dx $ 或 $ \cos x dx $ |
| 对数函数 × 多项式 | $ \ln x \cdot x^n $ | 令 $ u = \ln x $，$ dv = x^n dx $ |
| 指数函数 × 三角函数 | $ e^x \sin x $ 或 $ e^x \cos x $ | 可能需要多次分部积分，或结合代数方法求解 |
三、使用步骤总结
1. 确定被积函数：识别被积函数是否适合使用分部积分法。
2. 选择 $ u $ 和 $ dv $：根据“LIATE”规则（Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential）优先选择较难积分的部分作为 $ u $。
3. 计算 $ du $ 和 $ v $：对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。
4. 代入公式：将 $ u $、$ v $、$ du $ 代入分部积分公式。
5. 简化并计算：化简右侧表达式，进一步计算剩余的积分。
四、示例解析
例题：计算 $ \int x \cos x \, dx $
步骤：
- 设 $ u = x $，则 $ du = dx $
- 设 $ dv = \cos x dx $，则 $ v = \sin x $
代入公式：
$$
\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C
$$
五、注意事项
- 分部积分法不适用于所有积分，需根据具体情况判断是否适用；
- 若第一次分部后仍无法求解，可能需要再次应用分部积分法；
- 熟悉常见的积分形式有助于提高解题效率。
通过掌握分部积分法的基本原理和使用技巧，可以有效解决许多复杂的积分问题，是学习高等数学的重要工具之一。
