【平衡二叉树的判定】在数据结构中，平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，其特点是每个节点的左右子树的高度差不超过1。判断一棵二叉树是否为平衡二叉树是常见的算法问题之一。以下是对该问题的总结与分析。
一、平衡二叉树的定义
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是指对于任意一个节点，其左子树和右子树的高度差绝对值不超过1，并且左右子树本身也必须是平衡二叉树。
简而言之：
- 左子树高度 - 右子树高度 ∈ {-1, 0, 1}
二、判定方法
方法一：递归法
通过递归遍历每个节点，计算其左右子树的高度，并比较两者之差是否超过1。若所有节点均满足条件，则该树为平衡二叉树。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(h)（h为树的高度）
方法二：后序遍历优化法
在递归过程中，一旦发现某个节点不满足平衡条件，立即返回一个特殊值（如-1），避免重复计算高度，提高效率。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(h)
三、关键点对比
| 项目 | 说明 |
| 定义 | 每个节点的左右子树高度差不超过1 |
| 判定方式 | 递归或后序遍历 |
| 时间复杂度 | O(n) |
| 空间复杂度 | O(h) |
| 特殊情况 | 空树也是平衡二叉树 |
| 适用场景 | 数据库索引、快速查找等 |
四、示例分析
假设有一棵如下结构的二叉树：
```
1
/ \
2 3
/ \
4 5
```
- 节点1：左子树高度为2，右子树高度为1 → 差为1 → 合法
- 节点2：左子树高度为1，右子树高度为1 → 差为0 → 合法
- 节点3：无子树 → 高度为0 → 合法
- 节点4、5：叶子节点 → 合法
因此，该树为平衡二叉树。
五、常见错误与注意事项
- 误判空树：空树应视为平衡二叉树。
- 忽略子树的平衡性：即使当前节点满足条件，其子树也可能不满足。
- 重复计算高度：未优化时可能导致多次遍历同一节点。
六、总结
平衡二叉树的判定是二叉树相关算法中的基础问题之一。通过合理的递归设计或后序遍历优化，可以高效地完成判定。理解其定义与实现原理，有助于在实际编程中正确应用这一数据结构。
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