【数学导数公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。导数可以帮助我们了解函数在某一点的瞬时变化情况，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握常见的导数公式对于学习微积分至关重要。以下是对常见数学导数公式的总结，便于查阅和记忆。
一、基本导数公式
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、三角函数导数
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
三、反三角函数导数
| 函数表达式 | 导数表达式 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、导数运算法则
在实际应用中，常常需要对多个函数进行加减乘除或复合运算，因此掌握以下导数运算法则非常重要：
- 和差法则：$ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $
- 乘法法则：$ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $
- 商法则：$ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $
- 链式法则：若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $
五、高阶导数与隐函数求导
- 高阶导数：如 $ f''(x) $ 表示对 $ f(x) $ 求两次导数。
- 隐函数求导：若 $ F(x, y) = 0 $，则可通过两边对 $ x $ 求导，再解出 $ \frac{dy}{dx} $。
六、小结
导数是微积分的核心内容之一，掌握各类函数的导数公式以及导数的运算法则，有助于更深入地理解函数的变化规律，并为后续的积分、极值、曲线分析等打下坚实基础。建议在学习过程中多做练习题，结合图像理解导数的实际意义，从而提升数学思维能力。
以上内容为原创整理，适用于初学者或复习参考，旨在帮助读者系统掌握数学导数的相关知识。
