【二项式定理展开式公式是什么】二项式定理是数学中一个重要的代数公式，广泛应用于多项式的展开、组合数学以及概率论等领域。它描述了如何将一个形如 $(a + b)^n$ 的表达式展开为一系列项的和。
一、二项式定理的基本公式
二项式定理的展开式公式如下：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中：
- $n$ 是一个非负整数；
- $\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个的组合方式数目，计算公式为：
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
二、展开式的结构分析
在展开 $(a + b)^n$ 时，每一项的形式为：
$$
\binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中：
- $k$ 从 0 到 $n$；
- 每一项的次数总和为 $n$；
- 系数由组合数决定。
三、常见展开示例（以 $n=3$ 为例）
| 项数 | 展开项 | 系数 |
| 1 | $\binom{3}{0} a^3 b^0$ | $1$ |
| 2 | $\binom{3}{1} a^2 b^1$ | $3$ |
| 3 | $\binom{3}{2} a^1 b^2$ | $3$ |
| 4 | $\binom{3}{3} a^0 b^3$ | $1$ |
因此，$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
四、总结
二项式定理是将 $(a + b)^n$ 展开为若干项之和的重要工具，其核心在于组合数的应用。通过理解每个项的构成和系数规律，可以快速掌握多项式的展开方法，并用于实际问题中的计算与分析。
| 关键点 | 内容说明 |
| 公式 | $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ |
| 系数来源 | 组合数 $\binom{n}{k}$ |
| 项的结构 | $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ |
| 应用领域 | 多项式展开、组合数学、概率计算等 |
通过以上内容可以看出，二项式定理不仅是一个数学公式，更是连接代数与组合学的重要桥梁。理解并掌握这一原理，有助于提升对多项式运算的深入理解。
