【焦点在y轴的椭圆的焦半径公式是什么】在解析几何中，椭圆是一种常见的二次曲线，其标准方程根据焦点的位置不同而有所变化。当椭圆的焦点位于y轴上时，其标准方程形式为：
$$
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b)
$$
其中，$ a $ 是长轴的一半，$ b $ 是短轴的一半，焦点位于y轴上，坐标分别为 $ (0, c) $ 和 $ (0, -c) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $。
焦半径指的是椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离。对于焦点在y轴上的椭圆，焦半径公式与焦点在x轴上的椭圆有所不同。
焦点在y轴的椭圆的焦半径公式总结如下：
| 椭圆标准方程 | 焦点位置 | 焦半径公式（点P(x,y)） | 公式说明 |
| $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ | $(0, c)$ 和 $(0, -c)$ | $r_1 = a + ey$ | $e$ 为离心率，$e = \frac{c}{a}$ |
| $r_2 = a - ey$ | $r_1$ 为点P到上焦点的距离，$r_2$ 为点P到下焦点的距离 |
说明：
- 离心率 $ e $：表示椭圆的扁平程度，计算公式为 $ e = \frac{c}{a} $，其中 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $。
- 焦半径公式：由于焦点在y轴上，因此焦半径的表达式与点的y坐标有关，而不是x坐标。
- 对称性：椭圆关于x轴和y轴对称，因此焦半径公式也具有对称性。
示例：
假设椭圆方程为 $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 $，则：
- $ a^2 = 9 $，$ b^2 = 4 $
- $ a = 3 $，$ b = 2 $
- $ c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} $
- 离心率 $ e = \frac{\sqrt{5}}{3} $
若取点 $ P(0, 3) $，即椭圆的顶点，则：
- $ r_1 = a + e y = 3 + \frac{\sqrt{5}}{3} \times 3 = 3 + \sqrt{5} $
- $ r_2 = a - e y = 3 - \sqrt{5} $
通过上述表格和说明，可以清晰了解焦点在y轴的椭圆的焦半径公式及其应用方式。这一知识在解析几何、天体运动等领域有重要应用。
