在概率论和统计学中，卡方分布（Chi-Square Distribution）是一种重要的连续概率分布。它通常用于假设检验和置信区间估计中。卡方分布广泛应用于各种领域，如医学、工程、社会科学等。

卡方分布的定义基于一个随机变量的平方和。具体来说，如果有一个独立的标准正态随机变量 \(Z\)，那么 \(Z^2\) 的分布就是自由度为 1 的卡方分布。如果我们有 \(k\) 个独立的标准正态随机变量 \(Z_1, Z_2, \ldots, Z_k\)，那么它们的平方和：

\[

\chi^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + \ldots + Z_k^2

\]

将服从自由度为 \(k\) 的卡方分布，记作 \(\chi^2(k)\)。

卡方分布的概率密度函数（PDF）可以表示为：

\[

f(x; k) = \frac{x^{(k/2)-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)}

\]

其中 \(x \geq 0\)，\(k > 0\) 是自由度，\(\Gamma\) 表示伽马函数。

卡方分布的一个重要性质是其期望值和方差。对于自由度为 \(k\) 的卡方分布，其期望值 \(E[\chi^2] = k\)，而方差 \(Var[\chi^2] = 2k\)。

在实际应用中，卡方分布常用于检验数据是否符合某种分布，或者两个分类变量之间是否存在关联性。例如，在卡方检验中，我们通过比较观测频数与期望频数之间的差异来判断假设的有效性。

总之，卡方分布作为一种基础的概率分布，在统计分析中扮演着至关重要的角色。理解和掌握卡方分布的表达式及其特性，对于进行有效的数据分析具有重要意义。