【高考期望和方差计算公式】在高考数学中，期望与方差是概率统计中的重要概念，常用于分析随机变量的分布特征。掌握这些公式的应用，有助于提高解题效率和理解概率问题的本质。本文将对高考中常见的期望与方差计算公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、期望（Expected Value）的定义与公式
期望是描述随机变量在长期试验中平均取值的指标，也称为均值。
1. 离散型随机变量的期望公式：
设离散型随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望公式：
若连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则其期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）的定义与公式
方差是衡量随机变量与其期望之间偏离程度的指标，数值越大，表示数据越分散。
1. 方差的定义式：
$$
Var(X) = E[(X - E(X))^2
$$
2. 展开后的计算公式：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
这个公式在实际计算中更为常用。
三、常见分布的期望与方差
以下是高考中常见的几种概率分布及其对应的期望与方差公式：
| 分布类型 | 概率质量函数/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ Var(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Po(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
四、应用举例
例题：
一个班级有50名学生，其中30人喜欢数学，20人不喜欢。从中随机抽取一名学生，设 $ X $ 表示该生喜欢数学的次数（0或1），求 $ E(X) $ 和 $ Var(X) $。
解：
这是一个伯努利分布，$ p = \frac{30}{50} = 0.6 $
- 期望：$ E(X) = p = 0.6 $
- 方差：$ Var(X) = p(1-p) = 0.6 \times 0.4 = 0.24 $
五、总结
在高考数学中，期望与方差是概率统计部分的重要内容。掌握它们的计算公式及常见分布的特性，对于解决相关题目非常关键。通过表格形式可以更直观地理解不同分布的期望与方差，便于记忆与复习。
希望本文能帮助你更好地掌握“高考期望和方差计算公式”这一知识点。
