【高数定积分公式】在高等数学中，定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等领域。掌握常见的定积分公式，有助于快速解决相关问题。以下是对常见高数定积分公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本定积分公式
| 积分表达式 | 结果 |
| $\int_a^b dx$ | $b - a$ |
| $\int_a^b k\,dx$（k为常数） | $k(b - a)$ |
| $\int_a^b x^n dx$（n ≠ -1） | $\frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}$ |
| $\int_a^b \sin x\,dx$ | $-\cos b + \cos a$ |
| $\int_a^b \cos x\,dx$ | $\sin b - \sin a$ |
| $\int_a^b e^x dx$ | $e^b - e^a$ |
| $\int_a^b \frac{1}{x} dx$（x > 0） | $\ln b - \ln a$ |
| $\int_a^b \frac{1}{x^2} dx$ | $-\frac{1}{b} + \frac{1}{a}$ |
二、三角函数的定积分
| 积分表达式 | 结果 | ||||
| $\int_a^b \sin(kx) dx$ | $\frac{-\cos(kb) + \cos(ka)}{k}$ | ||||
| $\int_a^b \cos(kx) dx$ | $\frac{\sin(kb) - \sin(ka)}{k}$ | ||||
| $\int_a^b \tan x dx$（x ∈ (-π/2, π/2)） | $-\ln | \cos b | + \ln | \cos a | $ |
| $\int_a^b \sec^2 x dx$ | $\tan b - \tan a$ |
三、反三角函数的定积分
| 积分表达式 | 结果 |
| $\int_a^b \frac{1}{1+x^2} dx$ | $\arctan b - \arctan a$ |
| $\int_a^b \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ | $\arcsin b - \arcsin a$ |
| $\int_a^b \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx$ | $\sinh^{-1} b - \sinh^{-1} a$ |
四、对称性与奇偶函数的积分
- 若 $f(x)$ 是偶函数，则 $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$
- 若 $f(x)$ 是奇函数，则 $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$
五、换元法与分部积分法
- 换元法：设 $u = g(x)$，则 $\int_a^b f(g(x))g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$
- 分部积分法：$\int u dv = uv - \int v du$
六、特殊函数的定积分
| 积分表达式 | 结果 |
| $\int_0^\infty e^{-x} dx$ | $1$ |
| $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_0^1 x^n (1 - x)^m dx$（贝塔函数） | $\frac{n! m!}{(n + m + 1)!}$（当 n, m 为整数时） |
总结
定积分是计算面积、体积、平均值等的重要工具，掌握其基本公式和常用技巧对于学习高等数学至关重要。通过理解这些公式背后的几何意义和物理背景，可以更深入地掌握定积分的应用方法。在实际解题过程中，灵活运用换元法、分部积分法以及对称性分析，能够有效提高解题效率和准确性。
