在解析几何中，研究直线与圆的关系是一个经典且重要的课题。当一条直线穿过一个圆时，它们之间的交点可能有两个、一个或没有交点。如果存在两个交点，则这两点之间的距离被称为弦长。本文将详细推导直线过圆的弦长公式。
一、基本设定
假设我们有一个标准形式的圆方程：
\[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
\]
其中，\(a\) 和 \(b\) 是圆心坐标，\(r\) 是半径。
同时，设有一条直线的方程为：
\[
Ax + By + C = 0
\]
我们需要求出这条直线与圆相交形成的弦长。
二、联立方程求交点
将圆的方程和直线的方程联立起来，得到：
\[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \quad \text{以及} \quad Ax + By + C = 0
\]
从直线方程解出 \(y\)（或 \(x\)），代入圆的方程，得到一个关于 \(x\)（或 \(y\)）的一元二次方程。例如，令 \(y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}\)，代入圆的方程后化简，可得：
\[
Ax^2 + Bx + C = 0
\]
此为关于 \(x\) 的二次方程，其一般形式为：
\[
px^2 + qx + s = 0
\]
其中：
\[
p = A, \quad q = 2(aA - bB), \quad s = a^2 + b^2 - r^2 + 2abB - 2acA
\]
该方程的根即为直线与圆的交点横坐标。
三、弦长公式推导
设上述二次方程的两个根分别为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，则根据韦达定理有：
\[
x_1 + x_2 = -\frac{q}{p}, \quad x_1x_2 = \frac{s}{p}
\]
对应的交点为 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\)，其中 \(y_1 = -\frac{A}{B}x_1 - \frac{C}{B}\)，\(y_2 = -\frac{A}{B}x_2 - \frac{C}{B}\)。
弦长 \(L\) 可表示为两点间的欧几里得距离：
\[
L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
注意到：
\[
y_2 - y_1 = -\frac{A}{B}(x_2 - x_1)
\]
因此：
\[
L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + \left(-\frac{A}{B}(x_2 - x_1)\right)^2}
\]
\[
L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 \left(1 + \frac{A^2}{B^2}\right)}
\]
\[
L = |x_2 - x_1| \cdot \sqrt{1 + \frac{A^2}{B^2}}
\]
利用韦达定理，\((x_2 - x_1)^2 = (x_2 + x_1)^2 - 4x_1x_2\)，代入计算即可得到最终的弦长公式。
四、结论
通过以上推导，我们可以得出直线过圆的弦长公式为：
\[
L = \frac{\sqrt{q^2 - 4ps}}{|p|} \cdot \sqrt{1 + \frac{A^2}{B^2}}
\]
其中，\(p = A\)，\(q = 2(aA - bB)\)，\(s = a^2 + b^2 - r^2 + 2abB - 2acA\)。
这个公式适用于所有直线与圆相交的情况，能够快速计算弦长。希望本文对你有所帮助！
