【除法求导公式-明查堂】在微积分的学习过程中，求导是基础且重要的内容之一。其中，除法求导法则（即商的求导法则）是处理两个函数相除时的导数计算方法。本文将对“除法求导公式”进行总结，并通过表格形式清晰展示其应用方式。
一、除法求导公式的定义
若函数 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则该函数的导数为：
$$
y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式也被称为“商的求导法则”。
二、公式解析
- 分子部分：$ u'(x)v(x) - u(x)v'(x) $
- 第一项是分子函数的导数乘以分母函数；
- 第二项是分子函数乘以分母函数的导数；
- 分母部分：$ [v(x)]^2 $
- 分母是原分母函数的平方。
三、使用步骤
1. 确定分子函数 $ u(x) $ 和分母函数 $ v(x) $；
2. 求出 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $；
3. 将这些值代入公式中；
4. 化简结果，得到最终的导数表达式。
四、示例对比（表格形式）
| 函数 | 分子 $ u(x) $ | 分母 $ v(x) $ | 导数 $ u'(x) $ | 导数 $ v'(x) $ | 除法求导公式 | 最终导数 |
| $ \frac{x^2}{x+1} $ | $ x^2 $ | $ x+1 $ | $ 2x $ | $ 1 $ | $ \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} $ | $ \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} $ |
| $ \frac{\sin x}{\cos x} $ | $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} $ | $ \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $ |
| $ \frac{e^x}{x^3} $ | $ e^x $ | $ x^3 $ | $ e^x $ | $ 3x^2 $ | $ \frac{e^x \cdot x^3 - e^x \cdot 3x^2}{x^6} $ | $ \frac{e^x (x^3 - 3x^2)}{x^6} = \frac{e^x (x - 3)}{x^4} $ |
五、注意事项
- 在使用除法求导公式时，必须确保分母不为零；
- 若分子或分母为常数，可以直接简化计算；
- 复杂函数可以结合其他求导法则（如链式法则、乘法法则）一起使用。
六、总结
除法求导公式是处理函数相除时的重要工具，掌握其结构和使用方法有助于提高解题效率。通过表格形式的对比分析，可以更直观地理解不同函数在应用该公式时的变化规律。希望本文能帮助学习者更好地掌握这一数学基础知识。
作者：明查堂
来源：原创内容
