【二项分布公式是什么】在概率论与统计学中，二项分布是一个非常重要的离散概率分布模型，常用于描述在固定次数的独立重复试验中，成功次数的概率分布情况。它适用于每次试验只有两种可能结果（如“成功”或“失败”）的情况，并且每次试验的成功概率是相同的。
一、二项分布的基本概念
二项分布的定义基于以下三个条件：
1. 试验次数固定：即进行n次独立的试验。
2. 每次试验只有两个结果：通常称为“成功”和“失败”。
3. 每次试验的成功概率相同：记为p，失败概率为1-p。
如果满足以上条件，则随机变量X（表示成功次数）服从参数为n和p的二项分布，记作X ~ B(n, p)。
二、二项分布公式
二项分布的概率质量函数（PMF）如下：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ P(X = k) $ 表示在n次独立试验中恰好发生k次成功的概率；
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从n个不同元素中取出k个的方式数，计算公式为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
- $ p $ 是单次试验成功的概率；
- $ 1 - p $ 是单次试验失败的概率；
- $ n $ 是试验总次数；
- $ k $ 是成功发生的次数（$ k = 0, 1, 2, ..., n $）。
三、二项分布的性质
| 属性 | 公式或说明 |
| 数学期望（均值） | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1 - p) $ |
| 标准差 | $ \sigma = \sqrt{np(1 - p)} $ |
| 概率质量函数 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 可行范围 | $ k = 0, 1, 2, ..., n $ |
四、实例说明
假设某次考试通过率为60%（即p=0.6），现在有5人参加考试，求恰好有3人通过的概率。
使用公式计算：
$$
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^2 = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = 0.3456
$$
因此，恰好3人通过的概率约为34.56%。
五、总结
二项分布是描述n次独立重复试验中成功次数的常见模型，其核心公式为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
通过这个公式，我们可以计算出在特定条件下出现某一成功次数的概率，广泛应用于统计分析、质量控制、医学研究等领域。
| 项目 | 内容 |
| 分布名称 | 二项分布 |
| 参数 | n（试验次数）、p（成功概率） |
| 公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 均值 | $ np $ |
| 方差 | $ np(1 - p) $ |
| 应用场景 | 投掷硬币、产品合格率、考试通过率等 |
如需进一步了解二项分布与其他分布（如泊松分布、正态分布）的关系，可继续查阅相关资料。
