【平面向量的所有公式归纳】在高中数学中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅在几何问题中有广泛应用，也在物理、工程等领域中有着重要的作用。为了帮助同学们更好地掌握和复习平面向量的相关知识，本文将对平面向量的基本概念及常用公式进行系统归纳，便于理解和记忆。
一、基本概念
| 概念 | 含义 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示 |
| 零向量 | 长度为0的向量，方向不确定 |
| 单位向量 | 长度为1的向量 |
| 相等向量 | 方向相同且长度相等的向量 |
| 相反向量 | 方向相反、长度相等的向量 |
二、向量的表示方法
| 表示方式 | 说明 |
| 几何表示 | 用有向线段表示，如$\vec{AB}$ |
| 坐标表示 | 在平面直角坐标系中，向量可表示为$(x, y)$ |
| 符号表示 | $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$等 |
三、向量的运算公式
1. 向量加法与减法
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ | 向量的加法满足交换律和结合律 |
| 减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ | 可视为加上相反向量：$\vec{a} + (-\vec{b})$ |
2. 向量的数乘
| 运算 | 公式 | 说明 |
| 数乘 | $k\vec{a} = (kx, ky)$ | $k$为实数，当$k>0$时方向不变，$k<0$时方向相反 |
3. 向量的模（长度）
| 公式 | 说明 | |||
| 模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{x^2 + y^2}$ | 向量的长度或模 |
| 单位向量 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 方向与原向量相同，长度为1 |
4. 向量的点积（数量积）
| 公式 | 说明 | |||||
| 点积定义 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | $\theta$为两向量夹角 | |
| 坐标形式 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ | |||||
| 性质 | 1. $\vec{a} \cdot \vec{a} = | \vec{a} | ^2$ 2. 若$\vec{a} \perp \vec{b}$，则$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
5. 向量的叉积（仅适用于三维向量）
| 公式 | 说明 | |||||
| 叉积 | $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n}$ | $\hat{n}$为垂直于两向量的单位向量 | |
| 三维坐标形式 | $\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$ |
四、向量的共线与垂直条件
| 条件 | 公式 | 说明 |
| 共线 | $\vec{a} = \lambda \vec{b}$（$\lambda$为实数） | 向量方向相同或相反 |
| 垂直 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 两向量夹角为90° |
五、向量的投影
| 公式 | 说明 | |||
| 投影长度 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ | 向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影长度 |
| 投影向量 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b}$ | 向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影向量 |
六、向量的坐标表示与基底
| 内容 | 说明 | |
| 标准基底 | $\vec{i} = (1, 0)$，$\vec{j} = (0, 1)$ | |
| 向量分解 | $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$ | 向量可以表示为标准基底的线性组合 |
七、常见应用问题
| 问题类型 | 应用公式 | ||||
| 求向量夹角 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | |
| 求三角形面积 | $\frac{1}{2} | \vec{a} \times \vec{b} | $（若向量为边） | ||
| 判断三点共线 | 向量$\vec{AB}$与$\vec{AC}$共线 |
总结
平面向量是数学中一个基础而重要的内容，涵盖了从基本概念到复杂运算的多个方面。掌握这些公式不仅可以提高解题效率，还能加深对向量本质的理解。通过表格的形式整理出所有公式，有助于快速回顾和应用。希望本篇总结能帮助你更好地掌握平面向量的相关知识。
