【几何分布的期望和方差公式推导】几何分布是概率论中一种重要的离散型概率分布，常用于描述在独立重复试验中，首次成功发生在第k次试验的概率。其应用场景包括但不限于产品质量检测、用户点击行为分析等。
本文将对几何分布的期望和方差进行详细推导，并以加表格的形式展示关键结果，帮助读者更好地理解和应用该分布。
一、几何分布的基本概念
几何分布描述的是在独立重复的伯努利试验中，首次成功发生在第k次试验的概率。设每次试验成功的概率为p（0 < p < 1），失败的概率为q = 1 - p。
若随机变量X表示首次成功所需的试验次数，则X服从几何分布，记作X ~ Geom(p)。
其概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p, \quad k = 1, 2, 3, \dots
$$
二、期望的推导
几何分布的期望E(X)表示首次成功所需的平均试验次数。
推导过程：
$$
E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k-1} \cdot p
$$
令 $ q = 1 - p $，则上式变为：
$$
E(X) = p \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{k-1}
$$
这是一个经典的级数求和问题，已知：
$$
\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot q^{k-1} = \frac{1}{(1 - q)^2} = \frac{1}{p^2}
$$
因此，
$$
E(X) = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}
$$
三、方差的推导
几何分布的方差Var(X)表示首次成功所需试验次数的波动程度。
首先计算E(X²)，再利用方差公式：
$$
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
计算E(X²)：
$$
E(X^2) = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1 - p)^{k-1} \cdot p
$$
同样令 $ q = 1 - p $，则：
$$
E(X^2) = p \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot q^{k-1}
$$
使用已知的级数公式：
$$
\sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot q^{k-1} = \frac{1 + q}{(1 - q)^3} = \frac{1 + (1 - p)}{p^3} = \frac{2 - p}{p^3}
$$
因此，
$$
E(X^2) = p \cdot \frac{2 - p}{p^3} = \frac{2 - p}{p^2}
$$
代入方差公式：
$$
Var(X) = \frac{2 - p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{2 - p - 1}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2}
$$
四、总结与对比
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 期望 | $ E(X) = \frac{1}{p} $ | 首次成功所需的平均试验次数 |
| 方差 | $ Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} $ | 首次成功所需试验次数的波动性 |
五、结论
几何分布的期望和方差是其重要的统计特征，分别反映了事件首次发生所需的平均次数和波动情况。通过上述推导过程可以看出，这些公式不仅具有理论意义，也在实际应用中具有广泛价值。理解并掌握这些公式的来源，有助于更深入地应用几何分布在实际问题中的建模与分析。
