【积分常用公式】在数学中，积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握一些常用的积分公式，可以大大提高解题效率和理解深度。以下是一些常见的不定积分与定积分的公式总结，帮助读者快速查阅和应用。
一、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ x^n $ (n ≠ -1) | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ (a > 0, a ≠ 1) | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ |
二、三角函数积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{\cos(ax)}{a} + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{\sin(ax)}{a} + C $ | ||
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
| $ \sec^2(ax) $ | $ \frac{\tan(ax)}{a} + C $ | ||
| $ \csc^2(ax) $ | $ -\frac{\cot(ax)}{a} + C $ |
三、有理函数积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \frac{1}{ax + b} $ | $ \frac{1}{a} \ln | ax + b | + C $ |
| $ \frac{1}{(ax + b)^n} $ | $ \frac{(ax + b)^{1-n}}{a(1 - n)} + C $ (n ≠ 1) |
四、指数与对数函数积分
| 函数 | 不定积分 |
| $ x e^{ax} $ | $ \frac{e^{ax}(ax - 1)}{a^2} + C $ |
| $ x \ln x $ | $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $ |
| $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ |
| $ \frac{\ln x}{x} $ | $ \frac{(\ln x)^2}{2} + C $ |
五、特殊函数积分
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 - a^2}\right | + C $ |
六、定积分常用公式（区间为 [a, b]）
| 函数 | 定积分 |
| $ \int_a^b 1 \, dx $ | $ b - a $ |
| $ \int_a^b x \, dx $ | $ \frac{b^2 - a^2}{2} $ |
| $ \int_a^b x^n \, dx $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $ (n ≠ -1) |
| $ \int_a^b \sin x \, dx $ | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ \int_a^b \cos x \, dx $ | $ \sin b - \sin a $ |
小结
积分公式是学习微积分的基础内容之一，熟练掌握这些公式可以帮助我们更快地解决实际问题。虽然这些公式看似繁多，但通过不断练习和归纳，能够逐渐形成清晰的逻辑体系。在实际应用中，还需要结合换元法、分部积分等技巧灵活运用。希望本文能为你的学习提供参考和帮助。
