【向量叉乘公式】在三维几何与物理学中，向量叉乘（又称矢量积）是一个重要的运算，常用于计算两个向量之间的垂直方向、面积、力矩等。叉乘的结果是一个向量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。
一、向量叉乘的基本定义
设两个三维向量分别为：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
$$
它们的叉乘结果为一个新向量 $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$，其计算公式如下：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
即：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = \left( a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \right)
$$
二、叉乘的性质总结
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ |
| 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ |
| 线性性 | $(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$，其中 $k$ 为实数 |
| 零向量 | 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ |
| 垂直性 | $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 均垂直 |
三、叉乘的应用场景
| 应用领域 | 应用说明 |
| 力学 | 计算力矩，如旋转轴上的力矩大小和方向 |
| 计算机图形学 | 确定平面法向量，用于光照和阴影计算 |
| 物理学 | 计算磁场对运动电荷的作用力（洛伦兹力） |
| 几何 | 求解平面方程、判断点与平面位置关系 |
四、叉乘公式的实际计算示例
假设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，则：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}
$$
$$
= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}
= (-3, 6, -3)
$$
五、总结
向量叉乘是三维空间中一种重要的向量运算，具有明确的数学表达式和丰富的物理意义。通过掌握其公式和性质，可以更好地理解空间中的几何关系和物理现象。在实际应用中，合理使用叉乘能有效解决许多工程与科学问题。
