在统计学中，回归分析是一种非常重要的工具，它可以帮助我们理解两个或多个变量之间的关系。其中，最简单且最常见的形式就是一元线性回归，其核心在于找到一条直线来最佳地拟合数据点。这条直线被称为回归直线，而它的方程通常表示为 \(y = ax + b\)，其中 \(a\) 是斜率，\(b\) 是截距。

为了推导出这个方程的具体形式，我们需要确定 \(a\) 和 \(b\) 的值。这些值的选择基于最小化误差平方和的原则，即让所有数据点到直线的距离的平方和达到最小。

首先，假设我们有一组数据点 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)\)。我们的目标是找到直线 \(y = ax + b\)，使得对于每个数据点 \((x_i, y_i)\)，直线上的预测值 \(y_i' = ax_i + b\) 尽可能接近实际值 \(y_i\)。

为了量化这种接近程度，我们定义误差函数 \(E(a, b)\) 为所有数据点到直线的距离的平方和：

\[ E(a, b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - (ax_i + b))^2 \]

接下来，我们通过求偏导数的方法来寻找使 \(E(a, b)\) 最小化的 \(a\) 和 \(b\) 的值。分别对 \(a\) 和 \(b\) 求偏导数，并令其等于零，得到以下两个方程：

\[

\frac{\partial E}{\partial a} = -2 \sum_{i=1}^{n} x_i(y_i - (ax_i + b)) = 0

\]

\[

\frac{\partial E}{\partial b} = -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - (ax_i + b)) = 0

\]

解这两个方程可以得到 \(a\) 和 \(b\) 的表达式：

\[

a = \frac{n \sum{x_i y_i} - \sum{x_i} \sum{y_i}}{n \sum{x_i^2} - (\sum{x_i})^2}

\]

\[

b = \frac{\sum{y_i} - a \sum{x_i}}{n}

\]

这样，我们就得到了回归直线方程的参数 \(a\) 和 \(b\) 的具体计算公式。通过代入具体的 \(x_i\) 和 \(y_i\) 值，就可以得到最终的回归直线方程。

这种方法不仅简单直观，而且具有良好的数学性质，广泛应用于数据分析、预测等领域。