【数学期望怎么计算】数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述一个随机变量在大量重复试验中平均结果的数值。简单来说，数学期望可以理解为“长期平均值”，它帮助我们预测某个事件在多次发生后的平均收益或损失。
一、数学期望的基本定义
设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则数学期望 $ E(X) $ 定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
即：每个可能结果乘以该结果发生的概率，然后将所有结果相加。
二、数学期望的计算步骤
1. 列出所有可能的结果：确定随机变量的所有可能取值。
2. 确定每个结果的概率：计算每个结果出现的可能性。
3. 计算加权和：将每个结果乘以其对应概率，再求和。
三、数学期望的计算示例
| 随机变量 X | 取值 | 概率 P(X) | 计算式（X × P） |
| X | 1 | 0.2 | 1 × 0.2 = 0.2 |
| X | 2 | 0.5 | 2 × 0.5 = 1.0 |
| X | 3 | 0.3 | 3 × 0.3 = 0.9 |
| 合计 | 1.0 | 2.1 |
根据上述表格，数学期望为：
$$
E(X) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
$$
四、数学期望的应用场景
- 赌博游戏：计算玩家在长期游戏中平均能赢多少钱。
- 投资决策：评估不同投资方案的预期收益。
- 保险行业：计算保险产品的平均赔付金额。
- 统计学：作为描述数据集中趋势的重要指标。
五、总结
数学期望是通过加权平均的方式计算出的随机变量的“平均值”。它的计算过程虽然简单，但在实际应用中具有重要意义。掌握数学期望的计算方法，有助于我们在不确定环境下做出更合理的判断和决策。
| 项目 | 内容 |
| 数学期望定义 | 随机变量在长期试验中的平均值 |
| 公式 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i $ |
| 计算步骤 | 列出结果 → 确定概率 → 计算加权和 |
| 应用领域 | 投资、保险、统计、博弈等 |
