【导数除法运算公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。当处理两个函数的商时，我们需要使用导数的除法规则，也称为“商法则”。该法则用于求解两个可导函数相除后的导数。本文将对导数的除法规则进行总结，并通过表格形式清晰展示其应用方式。

一、导数除法运算公式（商法则）

设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，那么 $ f(x) $ 的导数为：

$$

f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}

$$

该公式可以简记为：

分子导乘分母减去分子乘分母导，再除以分母的平方。

二、公式解析与应用说明

三、示例演示

示例1：

设 $ f(x) = \frac{x^2}{x+1} $，求 $ f'(x) $

- $ u(x) = x^2 $，$ u'(x) = 2x $

- $ v(x) = x + 1 $，$ v'(x) = 1 $

代入公式得：

$$

f'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}

$$

示例2：

设 $ f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} $，求 $ f'(x) $

- $ u(x) = \sin x $，$ u'(x) = \cos x $

- $ v(x) = \cos x $，$ v'(x) = -\sin x $

代入公式得：

$$

f'(x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}

$$

四、注意事项

1. 分母不能为零：在使用商法则时，必须确保 $ v(x) \neq 0 $，否则函数无定义。

2. 正确识别分子和分母：在应用公式前，需明确哪个函数是分子，哪个是分母。

3. 导数计算准确：若分子或分母的导数计算错误，将导致最终结果错误。

五、总结

导数的除法运算是微积分中的基础内容之一，掌握商法则对于求解复杂函数的导数至关重要。通过理解并熟练应用该法则，可以更高效地处理涉及分数形式的函数问题。同时，结合实例练习有助于加深对公式的理解和记忆。