【arccosxdx的积分怎么求】在微积分中，求解含有反三角函数的积分是一个常见的问题。其中，∫ arccosx dx 是一个典型的不定积分问题。下面将对这一积分的求解方法进行总结，并以表格形式展示关键步骤和公式。
一、积分方法概述
对于 ∫ arccosx dx 这类积分，通常采用分部积分法（Integration by Parts）。分部积分法的基本公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
在本题中，我们选择：
- $ u = \arccos x $
- $ dv = dx $
从而可以得到：
- $ du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $
- $ v = x $
代入分部积分公式，即可逐步推导出结果。
二、积分过程详解
| 步骤 | 公式 | 说明 |
| 1 | $\int \arccos x \, dx$ | 原始积分 |
| 2 | $= x \cdot \arccos x - \int x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) dx$ | 分部积分公式应用 |
| 3 | $= x \cdot \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ | 简化符号 |
| 4 | $= x \cdot \arccos x - \int \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ | 变量替换准备 |
| 5 | 令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $，即 $ -\frac{dt}{2} = x dx $ | 用换元法简化积分 |
| 6 | $= x \cdot \arccos x - \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \left(-\frac{dt}{2}\right)$ | 换元后积分 |
| 7 | $= x \cdot \arccos x + \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt$ | 积分计算 |
| 8 | $= x \cdot \arccos x + \frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C$ | 积分结果 |
| 9 | $= x \cdot \arccos x + \sqrt{1 - x^2} + C$ | 回代变量 |
三、最终答案
$$
\int \arccos x \, dx = x \cdot \arccos x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
其中，C 为积分常数。
四、总结
| 内容 | 结果 |
| 积分表达式 | ∫ arccosx dx |
| 使用方法 | 分部积分法 + 换元法 |
| 最终结果 | $ x \cdot \arccos x + \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| 注意事项 | 积分结果需加上任意常数 C |
通过以上步骤，我们可以清晰地理解如何求解 ∫ arccosx dx 的不定积分。这种类型的题目在考试和实际应用中较为常见，掌握其解法有助于提升微积分的整体理解能力。
