【sinx的n次方的定积分用归纳公式】在数学中，计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ 是一个常见的问题，尤其在微积分和物理中有着广泛的应用。对于不同的 $n$ 值，可以通过递推公式（即归纳公式）来求解这个定积分。本文将总结不同 $n$ 值下的结果，并通过表格形式展示。
一、基本概念
对于函数 $\sin^n x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的定积分，我们记为：
$$
I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx
$$
当 $n$ 为正整数时，可以使用递推关系来简化计算。
二、归纳公式的推导
通过分部积分法，可以得到如下递推关系式：
- 当 $n \geq 2$ 时，
$$
I_n = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}
$$
该公式可用于从已知的 $I_0$ 和 $I_1$ 出发，逐步计算更高阶的 $I_n$。
具体初始值为：
- $I_0 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^0 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}$
- $I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$
三、计算示例与结果汇总
以下表格展示了从 $n=0$ 到 $n=10$ 的 $\sin^n x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的定积分值，基于上述递推公式得出的结果。
| n | $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ |
| 0 | $\frac{\pi}{2}$ |
| 1 | $1$ |
| 2 | $\frac{\pi}{4}$ |
| 3 | $\frac{2}{3}$ |
| 4 | $\frac{3\pi}{16}$ |
| 5 | $\frac{8}{15}$ |
| 6 | $\frac{5\pi}{32}$ |
| 7 | $\frac{16}{35}$ |
| 8 | $\frac{35\pi}{256}$ |
| 9 | $\frac{128}{315}$ |
| 10 | $\frac{63\pi}{512}$ |
四、总结
通过归纳公式 $I_n = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$，我们可以高效地计算 $\sin^n x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的定积分。对于偶数次幂，结果通常包含 $\pi$；而奇数次幂则为有理数。这种递推方法不仅适用于手工计算，也便于编程实现。
无论是在数学研究还是工程应用中，掌握这类积分的规律都是非常有用的。希望本文能帮助读者更好地理解 $\sin^n x$ 的定积分及其计算方法。
