【tan15度的值是多少要有过程】在三角函数中，tan（正切）是一个重要的函数，常用于计算直角三角形中的边角关系。15度是一个特殊的角，它的正切值可以通过一些已知的角度公式来推导得出。下面将详细说明如何求出tan15°的值，并以表格形式总结关键步骤和结果。
一、tan15°的求解过程
我们知道，15°可以表示为两个已知角度的差：
15° = 45° - 30°
根据正切的差角公式：
$$
\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}
$$
令 $ A = 45^\circ $，$ B = 30^\circ $，代入公式得：
$$
\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
我们已知：
- $ \tan 45^\circ = 1 $
- $ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $
代入公式：
$$
\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}
$$
接下来进行有理化处理：
$$
\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \times \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{(3)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}
$$
因此，最终结果为：
$$
\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}
$$
二、总结表格
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 表达式 | $ \tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) $ |
| 2 | 差角公式 | 使用 $ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} $ |
| 3 | 代入已知值 | $ \tan 45^\circ = 1 $, $ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| 4 | 计算分子与分母 | $ \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} $ |
| 5 | 有理化 | 分子分母同乘 $ 3 - \sqrt{3} $ |
| 6 | 化简结果 | 最终得到 $ \tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3} $ |
三、数值近似
如果需要数值近似值，我们可以计算：
$$
\sqrt{3} \approx 1.732 \\
2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268
$$
所以，
$$
\tan 15^\circ \approx 0.268
$$
四、小结
通过使用正切的差角公式和代数运算，我们成功地推导出了 tan15° 的精确值为 $ 2 - \sqrt{3} $，并得到了其近似值约为 0.268。这一过程展示了数学中如何利用已知角度的性质来求解未知角度的三角函数值，具有较强的逻辑性和实用性。
