【等比数列的所有公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比（记作 $ q $）。等比数列广泛应用于数列求和、几何问题以及金融计算等领域。为了便于理解和使用，以下总结了等比数列的主要公式，并以表格形式展示。
一、基本概念
- 首项：$ a_1 $
- 第 $ n $ 项：$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $
- 公比：$ q = \frac{a_{n+1}}{a_n} $
二、常用公式汇总
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第 $ n $ 项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | 用于计算等比数列的任意一项 | ||
| 前 $ n $ 项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $） | 计算等比数列前 $ n $ 项的总和 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a_1}{1 - q} $（当 $ | q | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项的和收敛 |
| 等比中项公式 | $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b $ 是中间项 |
三、特殊情况说明
1. 当 $ q = 1 $：
数列为常数列，即所有项都等于首项 $ a_1 $。此时前 $ n $ 项和为：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
2. 当 $
无穷等比数列的和存在，且为有限值；若 $
3. 当 $ q < 0 $：
数列会出现正负交替的情况，但依然满足等比数列的定义。
四、示例应用
假设一个等比数列的首项为 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求：
- 第5项：
$$
a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162
$$
- 前5项和：
$$
S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242
$$
五、总结
等比数列是数列中的重要类型之一，掌握其基本公式对于解决相关数学问题非常关键。通过理解各项公式的意义及适用条件，可以更灵活地运用等比数列进行计算和分析。无论是学习还是实际应用，这些公式都是不可或缺的基础工具。
如需进一步了解等比数列的应用实例或与其他数列的关系，可继续深入探讨。
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