【代数余子式的定理】在行列式计算中，代数余子式是一个非常重要的概念，尤其在展开行列式、求逆矩阵以及解决线性方程组等问题时有着广泛的应用。代数余子式的定义和相关定理是理解行列式结构的关键内容之一。
一、代数余子式的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，其第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素为 $ a_{ij} $。则该元素的代数余子式（或称余子式）记作 $ C_{ij} $，定义为：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
$$
其中，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的 $ (n-1) \times (n-1) $ 子矩阵的行列式，称为余子式。
二、代数余子式的定理
定理1：行列式的按行（列）展开定理
对于任意 $ n \times n $ 矩阵 $ A $，其行列式可以按第 $ i $ 行展开为：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}
$$
同样地，也可以按第 $ j $ 列展开：
$$
\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}
$$
这个定理说明了如何通过代数余子式来计算行列式的值。
定理2：余子式与伴随矩阵的关系
矩阵 $ A $ 的伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $ 是由所有代数余子式组成的矩阵的转置，即：
$$
\text{adj}(A) = (C_{ji})_{n \times n}
$$
并且有如下关系：
$$
A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I
$$
其中 $ I $ 是单位矩阵。
定理3：非零行列式的逆矩阵公式
若 $ \det(A) \neq 0 $，则矩阵 $ A $ 可逆，并且其逆矩阵为：
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
$$
这表明，代数余子式在求逆矩阵中起到了关键作用。
三、总结与对比表格
| 概念 | 定义 | 公式 | 应用 |
| 代数余子式 $ C_{ij} $ | 去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的子式乘以符号 $ (-1)^{i+j} $ | $ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $ | 行列式展开、逆矩阵计算 |
| 余子式 $ M_{ij} $ | 去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后的子矩阵的行列式 | $ M_{ij} = \det(A_{ij}) $ | 行列式展开、代数余子式基础 |
| 伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $ | 所有代数余子式的转置矩阵 | $ \text{adj}(A) = (C_{ji}) $ | 求逆矩阵、验证矩阵可逆性 |
| 行列式展开定理 | 行列式可按任意一行或一列展开 | $ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij} $ | 快速计算行列式 |
| 逆矩阵公式 | 非奇异矩阵的逆可用伴随矩阵表示 | $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $ | 求解线性方程组、矩阵运算 |
四、小结
代数余子式不仅是行列式计算的核心工具，还在矩阵的逆、伴随矩阵等高级运算中扮演着重要角色。掌握这些定理和应用方法，有助于更深入地理解线性代数的基本结构和运算规律。
