【基础解系怎么求】在高等代数中，线性方程组的解是一个重要的研究对象。对于齐次线性方程组，其解的结构通常由“基础解系”来描述。基础解系是齐次线性方程组所有解的集合中的一组极大线性无关向量组，通过这组向量可以表示出所有解。
以下是对“基础解系怎么求”的总结与步骤说明，便于理解和应用。
一、基础解系的定义
对于一个齐次线性方程组：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 是一个 $ n $ 维列向量，若该方程组有非零解，则其所有解构成一个向量空间，称为该方程组的解空间。基础解系就是这个解空间的一组基。
二、求基础解系的步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将系数矩阵 $ A $ 化为行最简形（阶梯形） |
| 2 | 确定主变量和自由变量（即主元对应的变量为基本变量，其余为自由变量） |
| 3 | 对每个自由变量赋值 1 或 0，其他变量用主变量表示，得到一组解向量 |
| 4 | 这些解向量构成基础解系，数量等于自由变量的个数 |
三、示例说明
考虑如下齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\
2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 - x_3 = 0
\end{cases}
$$
其系数矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 2 & -2 \\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
$$
化为行最简形后得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
主变量为 $ x_1 $，自由变量为 $ x_2, x_3 $
令 $ x_2 = s $，$ x_3 = t $，则有：
$$
x_1 = -x_2 + x_3 = -s + t
$$
因此，通解为：
$$
\mathbf{x} = s \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
所以，基础解系为：
$$
\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}
$$
四、注意事项
- 基础解系中的向量必须线性无关。
- 基础解系的数量等于自由变量的个数。
- 若矩阵的秩为 $ r $，则基础解系中包含 $ n - r $ 个向量。
五、总结
| 内容 | 说明 |
| 基础解系 | 齐次线性方程组所有解的极大线性无关组 |
| 求法 | 化简矩阵 → 确定主变量和自由变量 → 赋值 → 得到解向量 |
| 数量 | 与自由变量个数相同 |
| 作用 | 可以表示所有解，是解空间的基 |
通过以上方法，我们可以系统地求出任意齐次线性方程组的基础解系。掌握这一方法，有助于深入理解线性代数中解空间的结构与性质。
