向量的基本公式包括加法、减法、数乘、点积（内积）和叉积（外积），这些公式是线性代数与几何分析的基础。向量加法遵循平行四边形法则，减法得到向量差，数乘改变向量的长度与方向，点积用于计算投影与夹角，叉积则生成垂直于原向量的新向量。掌握这些公式能解决平面与空间中的几何与物理问题。

向量基本公式在平面和三维空间中均有严格定义。设二维向量a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则加法公式为a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)；减法公式为a-b=(x₁-x₂, y₁-y₂)；数乘公式为λa=(λx₁, λy₁)；点积公式为a·b=x₁x₂+y₁y₂，结果为标量，几何意义是abcosθ；模长公式为a=√(x₁²+y₁²)；夹角公式为cosθ=(a·b)/(ab)。在三维空间中，叉积公式为a×b=(y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂)，结果向量垂直于a和b所在平面，大小等于平行四边形面积。这些向量基本公式广泛应用于物理力学中的力合成、计算机图形学中的光照计算、以及机器学习中的特征变换等场景。

【常见问题】

问题1：向量基本公式中的点积和叉积有何本质区别？

答案1：向量基本公式中，点积的结果是一个标量，反映两向量在方向上的相似程度；叉积的结果是一个向量，垂直于原两向量所在平面，大小等于两向量构成的平行四边形面积。

问题2：如何用向量基本公式计算两点间的距离？

答案2：利用向量基本公式中的模长公式，先构造从点A到点B的方向向量，再计算该向量的模长，即距离d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]。

问题3：向量基本公式中的数乘运算能否改变向量的方向？

答案3：向量基本公式中的数乘运算中，当乘以正数时方向不变，乘以负数时方向反转，因此数乘可以改变向量的方向（反向）或仅改变长度。

问题4：在三维空间中，向量基本公式的叉积结果方向如何确定？

答案4：向量基本公式的叉积结果方向遵循右手定则：右手四指从a转向b，拇指指向即为叉积向量方向，该方向垂直于a和b所确定的平面。