【已知均匀分布的概率密度函数求其分布函数】在概率论中，均匀分布是一种常见的连续型概率分布。它描述的是在一个区间内所有点出现的可能性相等的随机变量。已知均匀分布的概率密度函数（PDF），可以通过积分的方式求得其对应的分布函数（CDF）。以下是对这一过程的总结，并通过表格形式清晰展示。
一、基本概念
- 概率密度函数（PDF）：描述随机变量在某个点附近取值的概率密度。
- 分布函数（CDF）：表示随机变量小于等于某个值的概率，即 $ F(x) = P(X \leq x) $。
对于一个定义在区间 $[a, b]$ 上的连续型均匀分布，其概率密度函数为：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b \\
0, & \text{其他情况}
\end{cases}
$$
二、由概率密度函数求分布函数
分布函数 $ F(x) $ 是概率密度函数 $ f(x) $ 在区间 $(-\infty, x]$ 上的积分，即：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt
$$
根据 $ f(x) $ 的定义，可以分段计算：
| 区间 | 积分表达式 | 分布函数 $ F(x) $ |
| $ x < a $ | $ \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0 $ | $ F(x) = 0 $ |
| $ a \leq x \leq b $ | $ \int_{a}^{x} \frac{1}{b - a} \, dt = \frac{x - a}{b - a} $ | $ F(x) = \frac{x - a}{b - a} $ |
| $ x > b $ | $ \int_{a}^{b} \frac{1}{b - a} \, dt + \int_{b}^{x} 0 \, dt = 1 $ | $ F(x) = 1 $ |
三、结论总结
通过上述分析可以看出，均匀分布的分布函数是一个分段函数，具有线性增长的特点。在区间 $[a, b]$ 内，随着 $ x $ 增大，$ F(x) $ 从 0 线性增加到 1，体现了均匀分布的特性。
四、表格总结
| 项目 | 内容 |
| 概率密度函数（PDF） | $ f(x) = \frac{1}{b - a} $，当 $ a \leq x \leq b $；否则为 0 |
\begin{cases}
0, & x < a \\
\frac{x - a}{b - a}, & a \leq x \leq b \\
1, & x > b
\end{cases} $
| 特点 | CDF 在区间内单调递增，且为线性函数 |
