【分部积分公式】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，常用于求解难以直接积分的函数。它基于乘积法则的逆运算，适用于被积函数为两个函数相乘的情况。通过合理选择两个函数中的一个作为“u”，另一个作为“dv”，可以简化积分过程。
一、分部积分公式总结
分部积分的基本公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个可导函数；
- $ dv $ 是一个可积函数；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的原函数（即 $ v = \int dv $）。
该公式的核心思想是将一个复杂的积分转化为更容易计算的积分形式。
二、使用分部积分的常见情况
| 情况 | 适用函数类型 | 建议选择 |
| 多项式 × 指数函数 | $ x^n e^{ax} $ | 令 $ u = x^n $，$ dv = e^{ax} dx $ |
| 多项式 × 三角函数 | $ x^n \sin(ax) $ 或 $ x^n \cos(ax) $ | 令 $ u = x^n $，$ dv = \sin(ax) dx $ 或 $ \cos(ax) dx $ |
| 对数函数 × 多项式 | $ \ln(x) \cdot x^n $ | 令 $ u = \ln(x) $，$ dv = x^n dx $ |
| 指数函数 × 三角函数 | $ e^{ax} \sin(bx) $ 或 $ e^{ax} \cos(bx) $ | 可多次应用分部积分，形成循环 |
三、分部积分的步骤
1. 确定 $ u $ 和 $ dv $：根据被积函数的结构，选择合适的部分作为 $ u $ 和 $ dv $。
2. 计算 $ du $ 和 $ v $：对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。
3. 代入公式：将 $ u $、$ dv $、$ du $、$ v $ 代入分部积分公式。
4. 化简并计算新的积分：可能需要再次使用分部积分或其它方法求解。
四、实例分析
例1： 计算 $ \int x \sin(x) \, dx $
- 设 $ u = x $，$ dv = \sin(x) dx $
- 则 $ du = dx $，$ v = -\cos(x) $
- 代入公式：
$$
\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C
$$
例2： 计算 $ \int x^2 e^x \, dx $
- 设 $ u = x^2 $，$ dv = e^x dx $
- 则 $ du = 2x dx $，$ v = e^x $
- 第一次分部积分后：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx
$$
- 再次对 $ \int x e^x \, dx $ 使用分部积分：
$$
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C
$$
- 最终结果：
$$
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C
$$
五、注意事项
- 分部积分并非万能，有时可能会导致更复杂的积分，需灵活判断；
- 若多次分部积分后出现循环，可通过代数方法解出原积分；
- 选择 $ u $ 和 $ dv $ 时，应尽量让 $ du $ 简单，$ v $ 易于计算。
六、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 适用场景 | 乘积形式积分，如多项式×指数/三角/对数函数 |
| 步骤 | 选 $ u $ 和 $ dv $ → 求 $ du $ 和 $ v $ → 代入公式 → 化简积分 |
| 注意事项 | 避免复杂循环；选择合适的 $ u $ 和 $ dv $；必要时重复使用分部积分 |
通过掌握分部积分法，可以有效解决许多复杂的积分问题，是学习微积分过程中不可或缺的重要工具。
