【求下列函数的定义域:】在数学中，函数的定义域是指所有使得该函数有意义的自变量（通常为x）的取值范围。不同的函数形式对自变量有不同限制，因此了解并确定函数的定义域是学习函数的重要基础。
以下是对一些常见函数类型的定义域进行总结，并以表格形式展示其对应的定义域范围。
一、常见函数类型及其定义域总结
| 函数类型 | 函数表达式 | 定义域说明 |
| 常数函数 | $ f(x) = c $（c为常数） | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 一次函数 | $ f(x) = ax + b $ | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 二次函数 | $ f(x) = ax^2 + bx + c $ | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 分式函数 | $ f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} $ | 分母不为0的所有实数 |
| 根号函数 | $ f(x) = \sqrt{g(x)} $ | 被开方数非负，即 $ g(x) \geq 0 $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a(g(x)) $ | 对数的真数大于0，即 $ g(x) > 0 $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^{g(x)} $ | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 三角函数 | $ f(x) = \sin(x), \cos(x) $ | 所有实数，即 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 反三角函数 | $ f(x) = \arcsin(x), \arccos(x) $ | 定义域为 $ [-1, 1] $ |
二、具体例子解析
1. 分式函数：
$ f(x) = \frac{1}{x - 2} $
定义域： $ x \neq 2 $，即 $ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) $
2. 根号函数：
$ f(x) = \sqrt{x - 3} $
定义域： $ x \geq 3 $，即 $ [3, +\infty) $
3. 对数函数：
$ f(x) = \log(x + 1) $
定义域： $ x + 1 > 0 $，即 $ x > -1 $，即 $ (-1, +\infty) $
4. 复合函数：
$ f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3} $
定义域： 需满足两个条件：
- $ x - 1 \geq 0 $ → $ x \geq 1 $
- $ x - 3 \neq 0 $ → $ x \neq 3 $
最终定义域： $ [1, 3) \cup (3, +\infty) $
三、总结
定义域是函数的基础属性之一，它决定了函数在哪些自变量范围内可以被计算或有意义地使用。理解每种函数类型的定义域规则，有助于我们更准确地分析和应用函数。通过结合代数运算与逻辑推理，我们可以逐步排除无意义的输入值，从而找到正确的定义域范围。
