【哪个函数的导数是arctanx】在微积分中，求一个函数的导数是一个常见问题，而反过来，已知导数求原函数的问题同样重要。本文将围绕“哪个函数的导数是 arctanx”这一问题进行总结，并通过表格形式清晰展示相关知识点。
一、
我们知道，arctanx 是一个常见的反三角函数，其导数为：
$$
\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
$$
但问题是：哪个函数的导数是 arctanx？ 这实际上是要求我们找到一个函数 $ f(x) $，使得：
$$
f'(x) = \arctan x
$$
也就是说，我们需要对 arctanx 进行不定积分，即：
$$
f(x) = \int \arctan x \, dx
$$
这个积分可以通过分部积分法来完成。设 $ u = \arctan x $，$ dv = dx $，则 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $，$ v = x $。根据分部积分公式：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来计算第二个积分：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
因此，最终结果为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
所以，函数 $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ 的导数是 arctanx。
二、表格展示
| 函数表达式 | 导数 |
| $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ | $ \arctan x $ |
三、补充说明
- 该结果是通过分部积分法得出的，适用于所有实数范围内的 x。
- 若有具体上下限，可进一步计算定积分。
- 在实际应用中，这样的积分常出现在物理、工程和数学建模中，用于解决与角度变化相关的连续性问题。
通过以上分析，我们可以明确地回答：“函数 $ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ 的导数是 arctanx。”
