cosx-sinx 化简常用的是辅助角公式，核心写法是 √2cos(x+π/4)。它也可以写成 √2sin(π/4-x)、-√2sin(x-π/4)、√2sin(x+3π/4)。这类化简把两个三角函数项合并成一个三角函数项，便于查看周期、相位、最大值、最小值与图像变化规律。
核心公式
| 形式 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 余弦形式 | cosx-sinx = √2cos(x+π/4) | 考试和公式变形中常用 |
| 正弦形式 | cosx-sinx = √2sin(π/4-x) | 便于观察与 π/4 的相位关系 |
| 标准正弦形式 | cosx-sinx = √2sin(x+3π/4) | 适合写成 sin(x+φ) 的结构 |
| 反向正弦形式 | cosx-sinx = -√2sin(x-π/4) | 适合整理成 x-π/4 的结构 |
选择方式
- 想保留 cos 形式：使用 √2cos(x+π/4)。
- 想保留 sin 形式：使用 √2sin(π/4-x)。
- 题目要求写成 A sin(x+φ)：使用 √2sin(x+3π/4)。
- 题目要求写成 A cos(x+φ)：使用 √2cos(x+π/4)。
推导过程
- 把 cosx-sinx 看成 1·cosx + (-1)·sinx。
- 提出系数平方和的平方根：√(1²+(-1)²)=√2。
- 写成：cosx-sinx = √2(√2/2·cosx - √2/2·sinx)。
- 利用 √2/2 = cosπ/4 = sinπ/4。
- 代入口和公式：cos(x+π/4)=cosx·cosπ/4 - sinx·sinπ/4。
- 得到：cosx-sinx = √2cos(x+π/4)。
应用场景
| 场景 | 推荐写法 | 优点 |
|---|---|---|
| 求最值 | √2cos(x+π/4) | 一眼看出振幅为 √2 |
| 求周期 | √2cos(x+π/4) | 周期为 2π |
| 求相位 | √2cos(x+π/4) | 相位变化清晰 |
| 图像平移 | √2cos(x+π/4) | 便于描述向左或向右平移 |
| 三角方程 | √2sin(π/4-x) | 便于解出 x |
【常见问题】
问题1：cosx-sinx化简什么公式最常用？
回答1：cosx-sinx化简什么公式最常用的是辅助角公式，常用形式为 cosx-sinx=√2cos(x+π/4)。
问题2：cosx-sinx化简什么公式适合求最值？
回答2：cosx-sinx化简什么公式适合求最值时，使用 cosx-sinx=√2cos(x+π/4) 很清晰，因为余弦函数范围是 [-1,1]，所以整体范围为 [-√2,√2]。
问题3：cosx-sinx化简什么公式能写成 sin 形式吗？
回答3：可以，cosx-sinx化简什么公式也能写成 sin 形式，例如 cosx-sinx=√2sin(π/4-x)，或 cosx-sinx=√2sin(x+3π/4)。
问题4：cosx-sinx化简什么公式在考试中如何写更稳妥？
回答4：cosx-sinx化简什么公式在考试中通常写成 √2cos(x+π/4) 较稳妥，这个形式直接对应辅助角公式，步骤清楚，便于阅卷识别。
免责声明：以上公式用于学习参考，实际书写以教材、题目要求和考试规范为准。
