【向量垂直公式是什么】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。向量的垂直关系可以通过它们的点积（内积）来判断。如果两个向量的点积为零，则这两个向量互相垂直。
一、向量垂直的基本概念
向量是具有大小和方向的数学对象。在二维或三维空间中，两个向量 a 和 b 如果满足以下条件：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
则称这两个向量 垂直（或正交）。
二、向量垂直的公式
设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点积公式为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n
$$
当这个结果等于 0 时，说明两个向量垂直。
三、不同维度下的垂直公式总结
| 维度 | 向量表示 | 点积公式 | 垂直条件 |
| 2D | a = (a₁, a₂) | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ | a₁b₁ + a₂b₂ = 0 |
| 3D | a = (a₁, a₂, a₃) | a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0 |
四、实例说明
例如，向量 a = (2, -1) 和 b = (1, 2) 的点积为：
$$
2 \times 1 + (-1) \times 2 = 2 - 2 = 0
$$
因此，这两个向量是垂直的。
五、总结
- 向量垂直的核心判断依据是它们的点积是否为 0。
- 在二维和三维空间中，点积公式分别为：
- 2D：a₁b₁ + a₂b₂
- 3D：a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
- 当点积为 0 时，两向量垂直。
通过掌握这一公式，可以快速判断向量之间的几何关系，常用于物理、工程和计算机图形学等领域。
