【概率与统计基本公式】在学习概率与统计的过程中，掌握一些基本的公式是必不可少的。这些公式不仅帮助我们理解随机现象的规律性，还能在实际问题中进行数据的分析和预测。以下是对概率与统计中常用公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、概率基础公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |
| 概率定义 | $ P(A) = \frac{\text{事件A发生的次数}}{\text{总试验次数}} $ | 用于计算事件发生的可能性 | |
| 加法原理 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 计算两个事件至少有一个发生的概率 | |
| 乘法原理 | $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) $ | 计算两个事件同时发生的概率 |
| 条件概率 | $ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $ | 在已知A发生的条件下，B发生的概率 |
| 独立事件 | $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $ | A和B互不影响时的概率关系 |
二、随机变量与分布
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 数学期望（离散） | $ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) $ | 随机变量X的平均值 |
| 数学期望（连续） | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx $ | 连续型随机变量的期望 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] $ | 衡量随机变量偏离均值的程度 |
| 标准差 | $ \sigma = \sqrt{Var(X)} $ | 方差的平方根，单位与X一致 |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | n次独立试验中成功k次的概率 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | 常见的连续分布，描述自然现象 |
三、统计推断基础
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 样本均值 | $ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $ | 数据集的平均值 |
| 样本方差 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $ | 描述样本数据的离散程度 |
| 标准误差 | $ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} $ | 估计样本均值的标准差 |
| 置信区间（正态分布） | $ \bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ | 估计总体均值的范围 |
| 假设检验 | $ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} $ | 判断样本是否支持原假设 |
四、相关与回归
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 相关系数 | $ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}} $ | 衡量两变量之间的线性相关程度 |
| 线性回归方程 | $ y = a + bx $ | 用x预测y的模型，其中b为斜率，a为截距 |
| 斜率公式 | $ b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} $ | 计算回归直线的斜率 |
总结
概率与统计是研究不确定性与数据规律的重要工具，掌握这些基本公式有助于我们在实际问题中进行合理的分析与判断。无论是日常生活的决策，还是科学研究中的数据分析，这些公式都是不可或缺的基础。建议在学习过程中多结合实例进行练习，以加深理解和应用能力。
