【向量垂直公式怎么推导出来的】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。而“向量垂直公式”通常指的是两个向量的点积为零时，它们互相垂直。本文将从基础概念出发，逐步推导出该公式的来源，并以表格形式进行总结。

一、基本概念

1. 向量：具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。

2. 点积（内积）：设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$，$\vec{b} = (b_1, b_2)$，则点积定义为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2

$$

3. 垂直：若两向量之间的夹角为 $90^\circ$，则称它们互相垂直。

二、推导过程

1. 余弦定理：

设向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，根据余弦定理：

$$

\vec{a} - \vec{b}^2 = \vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a}\vec{b}\cos\theta

$$

2. 展开模长平方：

若 $\vec{a} = (a_1, a_2)$，$\vec{b} = (b_1, b_2)$，则：

$$

\vec{a} - \vec{b}^2 = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2

$$

3. 代入并化简：

将点积与模长平方联系起来，最终可得：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}\vec{b}\cos\theta

$$

4. 当 $\theta = 90^\circ$ 时：

$\cos 90^\circ = 0$，因此：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$

由此得出结论：两个向量垂直的充要条件是它们的点积为零。

三、总结与表格对比

四、小结

向量垂直公式的本质来源于点积的几何解释，通过点积与夹角的关系推导而来。掌握这一公式不仅有助于理解向量间的几何关系，也为后续学习向量空间、线性代数等内容打下坚实基础。