sinx 分之一也就是 cscx，它的不定积分结果是 ln 绝对值 tan 二分之 x 加常数 C，也可以等价写成 ln 绝对值 cscx 减 cotx 加常数 C，这两个表达式是恒等变形，高数里面属于基本积分公式。这个积分不能直接套用幂函数积分，因为被积函数是余割函数，属于三角函数倒数，常规凑微分很难一步出结果，主流做法是分子分母同乘 cscx 减 cotx，制造可以凑微分的结构，这也是这道题最经典的推导思路。很多同学容易把这个积分和 cosx 分之一也就是 secx 的积分记混，secx 积分是 ln 绝对值 secx 加 tanx 加 C，两个公式符号和内部组合不一样，考试填空非常容易写反，一定要单独区分记忆。还要注意，原函数里面必须写绝对值，因为对数函数真数要求大于零，在 sinx 等于 0 也就是 x 等于 kπ 的位置，被积函数本身没有定义，所以积分区间不能穿过这些间断点。

推导详细步骤

被积函数 积分 1/sinx dx 也就是积分 cscx dx

第一步 分子分母同时乘以 cscx 减 cotx

原式等于积分 cscx (cscx 减 cotx) 除以 (cscx 减 cotx) dx

第二步 展开分子

分子变成 csc 平方 x 减 cscx cotx

第三步 观察微分关系

d (cscx 减 cotx) = 负 cscx cotx dx 加 csc 平方 x dx，正好等于分子部分

也就是分子这一整串刚好就是分母里面这个括号的微分

第四步 凑微分

原式就变成积分 d (cscx 减 cotx) 除以 (cscx 减 cotx)

第五步 套用积分 1/u du 等于 ln 绝对值 u 加 C

得到结果 ln 绝对值 (cscx 减 cotx) 加 C

第六步 三角恒等变换等价化简

cscx 减 cotx 等于 1/sinx 减 cosx/sinx 等于 (1 减 cosx)/sinx，利用半角公式，(1 减 cosx)/sinx 等于 tan 二分之 x

所以结果等价写成 ln 绝对值 tan (x/2) 加 C

两种等价结果对照

补充拓展

如果题目是定积分，一定要提前确认积分区间不包含 x 等于 kπ，因为在这些点 sinx 等于 0，1/sinx 趋向无穷，属于无界函数反常积分，反常积分还要额外判断敛散性，不是直接代入牛顿莱布尼茨公式。

另外还有第二种推导方法，使用万能代换 t 等于 tan 二分之 x，把 sinx 转化成 t 的有理函数，变成有理分式积分，同样可以得到相同答案，适合理解万能换元法的同学练习。

【常见问题】

问题 1 sinx 分之一的积分为什么必须加绝对值

回答 1 sinx 分之一的积分结果是对数形式，对数真数必须大于零，所以 sinx 分之一的积分表达式里面要加绝对值，保证真数非负，同时原函数在 x 等于 kπ 处没有定义。

问题 2 sinx 分之一的积分和 secx 积分是不是同一个公式

回答 2 sinx 分之一的积分也就是 cscx 积分，和 secx 积分不是同一个公式，sinx 分之一的积分结果是 ln 绝对值 cscx 减 cotx 加 C，secx 积分是 ln 绝对值 secx 加 tanx 加 C，二者不能混淆。

问题 3 sinx 分之一的积分可以用万能代换求解吗

回答 3 sinx 分之一的积分可以使用万能代换 t 等于 tan 二分之 x，把三角函数转换成有理函数积分，最后计算得到的结果和凑微分法得到的 ln 绝对值 tan 二分之 x 加 C 是一致的。

【免责申明】

本文按照高等数学通用教材标准讲解，默认在实数域求解 sinx 分之一的不定积分，反常积分敛散性复变积分等拓展内容不在本篇完整展开，内容仅作为学习参考。