sinx 也就是正弦函数，它是有界函数，但它不是在全体实数定义域上的单调函数，所以不能整体称作单调有界函数。很多同学容易把局部单调和全局单调混淆，sinx 在某一段区间里面可以保持单调递增或者单调递减，但是跨周期之后函数会反复升降，整体不存在统一的单调上升或者单调下降趋势，同时它的值始终落在负 1 到正 1 之间，满足有界这个条件。单调有界这个概念经常出现在极限章节，单调有界定理要求函数在指定区间内全程单调并且有界，判断的时候一定要看清楚题目有没有限定区间，如果题目给定特定区间，那 sinx 就可以在这个区间里面成为单调有界函数，如果定义域是全体实数，就不满足单调这个要求。

基础概念拆解

有界性判定

有界函数定义，存在固定常数 M，对定义域内所有 x，都满足绝对值 fx 小于等于 M。

对于 y 等于 sinx，不管 x 取任何实数，sinx 的值最大是 1，最小是负 1，也就是绝对值 sinx 小于等于 1，这里 M 取 1 就可以，所以 sinx 满足有界，属于有界函数。

单调性判定

全局单调性定义，在整个定义域全体实数上，如果 x1 小于 x2，永远都有 fx1 小于 fx2 就是单调递增，如果永远 fx1 大于 fx2 就是单调递减。

sinx 最小正周期是 2π，在一个周期里面既有上升段，又有下降段。

负二分之派加 2k 派 到 二分之派加 2k 派，单调递增

二分之派加 2k 派 到 二分之三派加 2k 派，单调递减

因为区间之间交替升降，所以在全体实数上，sinx 既不是全局单调递增，也不是全局单调递减。

分步判断流程

第一步 先明确题目给定的定义域，是全体实数还是指定区间，这是判断 sinx 是单调有界函数吗的首要前提。

第二步 验证有界性，检查函数值域，sinx 值域是负 1 到正 1，存在上下界，有界成立。

第三步 验证全局单调性，观察周期波动特征，函数周期性反复上升下降，不存在全程统一增减趋势，全局单调不成立。

第四步 区分局部区间情况，如果限定在比如负二分之派到二分之派这个区间，sinx 单调递增并且仍然有界，此时这个区间上 sinx 就是单调有界函数。

第五步 汇总判断，全体实数定义域下，sinx 只是有界函数，不是单调有界函数，限定区间才可以满足单调有界。

对比表格

拓展关联知识点

单调有界定理，单调有界数列必有极限，这个定理经常和 sinx 结合出题，但是要注意 sinx 本身是周期震荡函数，当 x 趋向无穷的时候，sinx 没有极限，原因就是它虽然有界，但是不单调，一直在震荡，这也是高频考点。

补充区分，单调有界是两个条件同时成立，缺一不可，只满足有界，或者只满足局部单调，都不能直接判定为单调有界函数。

常见误区

误区一 只要函数有界，就叫做单调有界函数，这个是错误，单调和有界是两个独立条件，必须同时满足。

误区二 看到 sinx 在一段区间单调，就直接说 sinx 是单调有界函数，忽略定义域是全体实数这个前提。

误区三 把 sinx 和单调有界数列混淆，sinx 是连续函数，不是数列，定理应用场景不一样。

【常见问题】

问题 1 sinx 是单调有界函数吗 为什么有界但是不能整体单调

回答 1 sinx 是单调有界函数吗这个问题，核心原因是 sinx 是周期函数，在全体实数上反复上升下降，虽然值域固定在负 1 到正 1 满足有界，但是没有全局统一增减趋势，所以整体不是单调有界函数。

问题 2 如果限定区间，sinx 是单调有界函数吗

回答 2 如果限定在 sinx 的单调区间内，sinx 是单调有界函数吗答案就是肯定，在该区间 sinx 保持单调，同时依旧满足有界，两个条件同时成立。

问题 3 sinx 是单调有界函数吗 这个考点和单调有界定理有关系吗

回答 3 有关系，判断 sinx 是单调有界函数吗经常配套单调有界定理出题，因为 sinx 有界但不全局单调，所以 x 趋向无穷时 sinx 不存在极限。

问题 4 sinx 是单调有界函数吗 和 cosx 性质是否一致

回答 4 性质基本一致，cosx 同样是有界函数，全体实数定义域上周期震荡，不是全局单调，所以和 sinx 是单调有界函数吗的判断结论逻辑相同。

【免责申明】

本文内容仅用于高等数学学习参考，答题时务必留意题干给出的定义域区间，不同定义域下 sinx 是单调有界函数吗的结论会发生变化，本内容不替代专业教师授课讲解。